Question

10．已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標方程為：ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，點P（2cosα，2sinα+2），參數(shù)α∈[0，2π]．
（1）求點P軌跡的直角坐標方程；
（2）求點P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）設點P（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，由此能求出點P的軌跡的直角坐標方程．
（2）由已知得$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$．從而直線l的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y+10=0$，求出圓心到直線的距離，得點P所在的圓與直線l相離，由此能求出點P到直線l距離的最大值．

解答 解：（1）設點P（x，y），∵P（2cosα，2sinα+2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，且參數(shù)α∈[0，2π]，
所以點P的軌跡的直角坐標方程為x²+（y-2）²=4．…（3分）
（2）∵ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，∴$ρsin（θ-\frac{π}{3}）$=5，
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=5$，即$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$．
∴直線l的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y+10=0$．…（6分）
由（1）知點P的軌跡方程為x²+（y-2）²=4，是圓心為（0，2），半徑為2的圓．
圓心到直線的距離d=$\frac{|-2+10|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
點P所在的圓與直線l相離，…（9分）
∴點P到直線l距離的最大值4+2=6．…（10分）

點評 本題考查極坐標方程與普通方程的互化，考查點到直線距離的最大值的求法，靈活利用極坐標方程與普通方程的互化公式是解決問題的關鍵．