Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{a-1}$（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性（單調(diào)性不需證明）；
（2）若對于任意x∈R，f（x-λ）+f（x²-λ）＞0恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求定義域，判斷是否關(guān)于原點對稱，求f（-x）=$\frac{a}{a-1}$（a^-x-a^x）=-f（x）得出結(jié)果；
（2）利用（1）的結(jié)論，得出x-λ＞-x²+λ，只需求出x²+x的最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，關(guān)于原點對稱，
f（-x）=$\frac{a}{a-1}$（a^-x-a^x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）∵f（x-λ）+f（x²-λ）＞0，
∴f（x-λ）＞-f（x²-λ），
∴f（x-λ）＞f（-x²+λ），
∴x-λ＞-x²+λ，
∴x²+x＞2λ恒成立，
∴-$\frac{1}{4}$＞2λ，
∴λ$＜-\frac{1}{8}$．

點評 考查了奇偶性的判斷和利用奇偶性解決實際問題．