Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}中，有a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，（n∈N^*），求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）a₂+a₄+a₆+…+a_2n的值．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n與a_n+2=$\frac{1}{3}$S_n+1作差、整理得a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1，進而可知數(shù)列{a_n+1}是以$\frac{1}{3}$為首項、$\frac{4}{3}$為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知數(shù)列{a_2n}是以$\frac{1}{3}$為首項、$\frac{16}{9}$為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，
∴a_n+2=$\frac{1}{3}$S_n+1，
兩式相減得：a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+1，
整理得：a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1，
又∵a₂=$\frac{1}{3}$a₁不滿足上式，
∴數(shù)列{a_n+1}是以$\frac{1}{3}$為首項、$\frac{4}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{3}^{n-1}}，}&{n≤2}\\{\frac{4}{{3}^{n-1}}，}&{n≥3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知數(shù)列{a_2n}是以$\frac{1}{3}$為首項、$\frac{16}{9}$為公比的等比數(shù)列，
∴a₂+a₄+a₆+…+a_2n=$\frac{\frac{1}{3}[1-（{\frac{16}{9}）}^{n}]}{1-\frac{16}{9}}$=$\frac{3}{7}$•$（\frac{16}{9}）^{n}$-$\frac{3}{7}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．