【題目】漳州水仙鱗莖碩大,箭多花繁,色美香郁,素雅娟麗,有“天下水仙數(shù)漳州”之美譽(yù).現(xiàn)某水仙花雕刻師受雇每天雕刻250粒水仙花,雕刻師每雕刻一粒可賺1.2元,如果雕刻師當(dāng)天超額完成任務(wù),則超出的部分每粒多賺0.5元;如果當(dāng)天未能按量完成任務(wù),則按完成的雕刻量領(lǐng)取當(dāng)天工資. (Ⅰ)求雕刻師當(dāng)天收入(單位:元)關(guān)于雕刻量n(單位:粒,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該雕刻師記錄了過去10天每天的雕刻量n(單位:粒),整理得如表:

雕刻量n

210

230

250

270

300

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率.
(ⅰ)在當(dāng)天的收入不低于276元的條件下,求當(dāng)天雕刻量不低于270個的概率;
(ⅱ)若X表示雕刻師當(dāng)天的收入(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】解:(I)當(dāng)n≥250時,f(n)=250×1.2+1.7×(n﹣250)=1.7n﹣125,

當(dāng)n<250時,f(n)=1.2n,

所以

( II)(。┰O(shè)當(dāng)天的收入不低于276元為事件A,設(shè)當(dāng)天雕刻量不低于270個為事件B,

由(I)得“利潤不低于276元”等價(jià)于“雕刻量不低于230個”,則P(A)=0.9,

所以

(ⅱ)由題意得f(210)=252,f(230)=276,f(250)=300,f(270)=334,f(300)=385,X的可能取值為252,276,300,334,385.

所以P(X=252)=0.1,P(X=276)=0.2,P(X=300)=0.3,P(X=334)=0.3,P(X=385)=0.1,(10分)X的分布列為

X

252

276

300

334

385

P

0.1

0.2

0.3

0.3

0.1

∴E(X)=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=309.1(元)


【解析】(I)利用一次函數(shù)的解析式,分別得出當(dāng)n≥250時,f(n)=250×1.2+1.7×(n﹣250);當(dāng)n<250時,f(n)=1.2n.( II)(。┰O(shè)當(dāng)天的收入不低于276元為事件A,設(shè)當(dāng)天雕刻量不低于270個為事件B,由(I)得“利潤不低于276元”等價(jià)于“雕刻量不低于230個”,可得P(A)=0.9,再利用條件概率計(jì)算公式可得.(ⅱ)由題意得f(210)=252,f(230)=276,f(250)=300,f(270)=334,f(300)=385,X的可能取值為252,276,300,334,385.即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)精析】掌握離散型隨機(jī)變量及其分布列是解答本題的根本,需要知道在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中,對于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡稱分布列.

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