Question

3．已知函數(shù)f（x）=x+sinx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域；
（2）函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積就是定積分的值．

解答 解：（1）∵f′（x）=1+cosx≥0，
∴函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{2}$，π]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$+1，
f（x）_max=f（π）=π，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇$\frac{π}{2}$+1，π]；
（2）函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積S=${∫}_{\frac{π}{2}}^{π}$f（x）dx=${∫}_{\frac{π}{2}}^{π}$（x+sinx）dx=（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-cosx）|${\;}_{\frac{π}{2}}^{π}$=$\frac{1}{2}$π²+1-$\frac{1}{8}{π}^{2}$=$\frac{3{π}^{2}}{8}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．