Question

13．已知a，b∈R⁺．
（1）求證：$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{a}$≥a+b；
（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)y=$\frac{{{{（1-x）}^2}}}{x}+\frac{x^2}{1-x}$（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用綜合法，通過證明a³+b³-a²b-ab²≥0，然后變形證明結(jié)果即可．
（2）利用（1）的結(jié)論直接求出最小值即可．

解答 （1）證明：a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b），
∵a，b∈R⁺．
∴（a-b）²（a+b）≥0，
即a³+b³-a²b-ab²≥0，
可得a³+b³≥a²b+ab²，
∴$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{a}$≥a+b；
（2）解：由（1）可得0＜x＜1時(shí)，函數(shù)y=$\frac{{{{（1-x）}^2}}}{x}+\frac{x^2}{1-x}$≥x+1-x=1．
函數(shù)的最小值為1．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明綜合法的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．