Question

18．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=a+$\frac{1}{{{4^x}+1}}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)定義f（x）=-f（x）中的特殊值求a的值；根據(jù)解析式指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識(shí)求出k的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以f（0）=0，
即a+$\frac{1}{2}$=0，
所以a=-$\frac{1}{2}$；
f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{{4^x}+1}}$在R上是單調(diào)減函數(shù)
（2）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對(duì)一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0⇒k＜-$\frac{1}{3}$．
所以k的取值范圍是k＜-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．