在△ABC中，A，B，C分別為a，b，c邊所對的角，且cosA=
4
5
．
（1）求sin
B+C
2
+cos2A的值；
（2）若a=2，求△ABC的面積S的最大值．
分析：（1）由已知可求cos
A
2
，cos2A=2cos2A-1，然后利用誘導公式及二倍角公式即可求解
（2）根據(jù)三角形的面積公式S=
1
2
bcsinA表示出三角形的面積，根據(jù)余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化簡，把a的值代入即可求出bc的最大值，進而得到面積S的最大值．
解答：解：（1）∵cosA=
4
5
=2cos2
A
2
-1且cos
A
2
＞0
∴cos
A
2
=
3
10
10
，cos2A=2cos2A-1=
7
25

由三角形的內角和可得，B+C=π-A
∴sin
B+C
2
+cos2A=cos
A
2
+cos2A=
3
10
10
+
7
25

（2）由余弦定理可得，cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
4
5

∴
8bc
5
=b2+c2-a2=b2+c2-4≥2bc-4
∴bc≤10
∴S=
1
2
bcsinA≤
1
2
×10×
3
5
=3，即S的最大值為3
點評：此題屬于解三角形的題型，考查的知識有：誘導公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，三角形的面積公式，以及基本不等式的應用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　�。�
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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