Question

【題目】設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,直線,相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為-2,設(shè)點(diǎn)的軌跡是曲線.

（1）求曲線的方程;

（2）已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)、（均不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)）,設(shè)曲線與軸的正半軸交于點(diǎn),若,垂足為且,求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)直線,的斜率之積為-2,列方程,整理即可得出曲線的軌跡方程.

（2）聯(lián)立直線與曲線方程得,根據(jù)有兩個(gè)不相同的交點(diǎn),有根的判別式得①,再利用韋達(dá)定理得,.

根據(jù)列等式方程,整理即可求出或,分別與討論得出直線恒過(guò)定點(diǎn).

解:（1）建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),

因?yàn)橹本�,的斜率之積為-2

所以,

整理得曲線的方程為:

（2）由題意:聯(lián)立

得,

由得①

設(shè),,則,.

,

所以

即,

,

所以或均適合①.

當(dāng)時(shí),直線過(guò)點(diǎn),

當(dāng)時(shí),直線過(guò)點(diǎn),舍.

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).