Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：平面PAB∥平面EFG；
（3）在線段PB上確定一點M，使PC⊥平面ADM，
并給出證明．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}PD•{S}_{ABCD}$即可得出；
（2）由E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點．利用三角形中位線定理可得：EF∥CD，再利用正方形性質(zhì)可得EF∥AB，可得EF∥平面PAB．同理可得：EG∥平面PAB，即可證明平面PAB∥平面EFG；
（3）當(dāng)M為線段PB的中點時，滿足使PC⊥平面ADM．取PB的中點M，連接DE，EM，AM．可得EM∥BC∥AD，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：AD⊥PD．利用判定定理可得AD⊥平面PCD．得到AD⊥PC．又△PDC為等腰三角形，E為斜邊的中點，可得DE⊥PC，即可證明．

解答 （1）解：∵PD⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}PD•{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}×2×{2}^{2}$=$\frac{8}{3}$．
（2）證明：∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點．
∴EF∥CD，
由正方形ABCD，∴AB∥CD，
∴EF∥AB，
又EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB．
同理可得：EG∥PB，
可得EG∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
∴平面PAB∥平面EFG；
（3）解：當(dāng)M為線段PB的中點時，滿足使PC⊥平面ADM．
下面給出證明：取PB的中點M，連接DE，EM，AM．
∵EM∥BC∥AD，∴四點A，D，E，M四點共面，由PD⊥平面ABCD，
∴AD⊥PD．
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．
∴AD⊥PC．
又△PDC為等腰三角形，E為斜邊的中點，∴DE⊥PC，
又AD∩DC=D，
∴PC⊥平面ADEM，即PC⊥平面ADM．本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、菱形的性質(zhì)、體積、三角形中位線定理、梯形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

點評 本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、菱形的性質(zhì)、體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．