Question

13．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-sinB），且|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=1．
（1）求角C的度數(shù)；
（2）若c=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與模的計(jì)算公式可得：$\sqrt{（cosA-cosB）^{2}+（sinA+sinB）^{2}}$=1，利用兩角和差的余弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化為2-2cos（A+B）=1，即可得出．
（2）當(dāng)c=3時(shí)，利用余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，再利用基本不等式的性質(zhì)與三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-sinB），
∴$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$=（cosA-cosB，sinA+sinB），
又|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=1．
∴$\sqrt{（cosA-cosB）^{2}+（sinA+sinB）^{2}}$=1，
化為2-2cos（A+B）=1，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（2）當(dāng)c=3時(shí)，c²=a²+b²-2abcosC，
∴9≥2ab-2ab×$（-\frac{1}{2}）$，∴ab≤3，
∴S=$\frac{1}{2}absinC$$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab$≤\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算與模的計(jì)算公式、兩角和差的余弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)與三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．