Question

4．若方程100|（x-1）（x-2）|=kx有4個不同的實數(shù)根，則正整數(shù)k的最大值為17．

Answer 1

分析 方程100|（x-1）（x-2）|=kx有4個不同的實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為y=|（x-1）（x-2）|與y=$\frac{k}{100}$x的圖象有4個不同的交點，從而作圖，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可．

解答 解：∵方程100|（x-1）（x-2）|=kx有4個不同的實數(shù)根，
∴y=|（x-1）（x-2）|與y=$\frac{k}{100}$x的圖象有4個不同的交點，
作y=|（x-1）（x-2）|與y=$\frac{k}{100}$x的圖象如下，

當(dāng)直線y=$\frac{k}{100}$x與y=|（x-1）（x-2）|相切時，
y=-x²+3x-2，y′=-2x+3，
設(shè)切點為（a，-a²+3a-2），
則$\frac{-{a}^{2}+3a-2}{a}$=-2a+3，
解得，a=$\sqrt{2}$，
故切線的斜率為3-2$\sqrt{2}$；
故0＜$\frac{k}{100}$＜3-2$\sqrt{2}$，
故0＜k＜300-200$\sqrt{2}$，
故正整數(shù)k的最大值為17．
故答案為：17．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．