Question

14．已知0≤x≤2，試求函數(shù)y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1的值域．

Answer 1

分析 求出（$\frac{1}{2}$）^x的范圍．利用換元法，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域．

解答 解：0≤x≤2，（$\frac{1}{2}$）^x∈[$\frac{1}{4}$，1]，
令（$\frac{1}{2}$）^x=t，函數(shù)化為：y=t²-t+1，t∈[$\frac{1}{4}$，1]，
二次函數(shù)y=t²-t+1的對稱軸為：t=$\frac{1}{2}$，開口向上，
t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值：$\frac{3}{4}$；t=1時，好取得最大值為1．
函數(shù)y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1的值域：[$\frac{3}{4}，1$]．

點評 本題畫出換元法以及二次函數(shù)的性質(zhì)，閉區(qū)間上的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．