Question

在直角坐標(biāo)平面上，有5個非零向量

a1

、

a2

、

a3

、

a4

、

a5

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，3，4），各向量的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為非負(fù)實數(shù)，若|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+|

a4

|+|

a5

|=l（常數(shù)），則|

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：兩向量的和或差的模的最值

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：不妨設(shè)圖形為：設(shè)

a1

+

a3

+

a5

=（m，0），（m＞0），

a2

+

a4

=（n，0），（n＞0）．
|

a1

|+|

a3

|+|

a5

|=m，|

a2

|+|

a4

|=n．|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+|

a4

|+|

a5

|=l（常數(shù)），
m+n=l．再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：由5個非零向量

a1

、

a2

、

a3

、

a4

、

a5

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，3，4），各向量的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為非負(fù)實數(shù)，（k=1，2，3，4），各向量的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為非負(fù)實數(shù)，不妨設(shè)圖形為：
設(shè)

a1

+

a3

+

a5

=（m，0），（m＞0），

a2

+

a4

=（n，0），（n＞0）．
∴|

a1

|+|

a3

|+|

a5

|=m，|

a2

|+|

a4

|=n．
∵|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+|

a4

|+|

a5

|=l（常數(shù)），
∴m+n=l．
∴|

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

|=

m2+n2

≥

m+n

2

=

2

2

l．
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

2

l取等號．
∴|

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

|的最小值為

2

2

l．
故答案為：

2

2

l．

點評：本題考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算及其性質(zhì)、基本不等式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．