Question

（2003•北京）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，側(cè)棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=

3 3

2

，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC．
（1）求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱錐C₁-ABB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三棱柱的性質(zhì)，可以證出BC₁∥DB₁，結(jié)合線面平行的判定定理可以證出直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）過B作BE⊥AD于E，連接EB₁，根據(jù)三垂線定理得∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角．在Rt△BB₁E中，利用三角函數(shù)的定義可算出∠B₁EB=60°，即二面角B₁-AD-B的大小為60°．
（3）過A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性質(zhì)定理，可得AF⊥平面BB₁C₁C，即AF等于點(diǎn)A到平面B₁C₁B的距離．利用等邊三角形計(jì)算出AF的長(zhǎng)為

3 3

2

，結(jié)合三角形B₁C₁B的面積等于

9 3

4

，用錐體體積公式可以算出三棱錐C₁-ABB₁的體積．

解答：解：（1）∵CB∥C₁B₁，且BD=BC=B₁C₁，
∴四邊形BDB₁C₁是平行四邊形，可得BC₁∥DB₁．
又B₁D?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直線BC₁∥平面AB₁D
（2）過B作BE⊥AD于E，連接EB₁
∵BB₁⊥平面ABD，∴BE是B₁E在平面ABD內(nèi)的射影
結(jié)合BE⊥AD，可得B₁E⊥AD，
∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角．
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中點(diǎn)，得BE是三角形ACD的中位線，所以BE=

1

2

AC=

3

2

．
在Rt△BB₁E中，tan∠B₁BE=

B1B

BE

=

3 2 3

3 2

=

3

∴∠B₁EB=60°，即二面角B₁-AD-B的大小為60°
（3）過A作AF⊥BC于F，
∵BB₁⊥平面ABC，BB₁?平面BB₁C₁C
∴平面BB₁C₁C⊥平面ABC
∵AF⊥BC，平面BB₁C₁C∩平面ABC=BC
∴AF⊥平面BB₁C₁C，即AF為點(diǎn)A到平面BB₁C₁C的距離．
∵正三角形ABC中，AF=

3

2

×3=

3 3

2

，
∴三棱錐C₁-ABB₁的體積V_C1-ABB1=V_A-C1BB1=

1

3

×

9 3

4

×

3 3

2

=

27

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊正三棱柱為載體，適當(dāng)加以變化，求三棱錐的體積并求二面角的大小，著重考查了空間線面平行的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．