Question

20．若函數f（x）=2cos²x-2acosx+a²-2a-1（0$≤x≤\frac{π}{2}$）的最小值為-2，求實數a的值并求此時f（x）的最大值．

Answer 1

分析 化簡可得f（x）=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，結合0≤cosx≤1分類討論由二次函數區(qū)間的最值可得．

解答 解：化簡可得f（x）=2cos²x-2acosx+a²-2a-1
=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴0≤cosx≤1，
當$\frac{a}{2}$＜0即a＜0時，函數f（x）在cosx∈[0，1]單調遞增，
當cosx=0時函數f（x）取最小值a²-2a-1=2，解得a=-1，或a=3（舍去），
此時f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，當cosx=1時，函數取最大值6；
當0≤$\frac{a}{2}$≤1即0≤a≤2時，函數f（x）在cosx∈[0，$\frac{a}{2}$]單調遞減，
在cosx∈[$\frac{a}{2}$，1]單調遞增，當cosx=$\frac{a}{2}$時函數f（x）取最小值$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=2，
解得a=2±$\sqrt{10}$（舍去），不合題意；
當$\frac{a}{2}$＞1即a＞2時，函數f（x）在cosx∈[0，1]單調遞減，
當cosx=1時函數f（x）取最小值a²-4a+1=2，解得a=2+$\sqrt{2}$，或a=2-$\sqrt{2}$（舍去），
此時當cosx=0時，函數取最大值2$\sqrt{2}$+1
綜上可得當a=-1時，函數取最大值6，當a=2+$\sqrt{2}$時，函數取最大值2$\sqrt{2}$+1

點評 本題考查三角函數的最值，涉及二次函數區(qū)間的最值和分類討論的思想，屬中檔題．