Question

已知(1+

1

2

x)n(n∈N*)展開式的各項依次記為a₁（x），a₂（x），a₃（x），…，a_n（x），a_n+1（x），其中ak(x)=

C

k-1 n

(

1

2

x)k-1，k=1，2，3，…，n+1
設F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x）+…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次成等差數列，求n的值；
（2）求證：對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式，求出前三項的系數，據a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次成等差數列，列出方程，即可求出n的值．
（2）先利用到序相加法求出F（2）-F（0）的值，利用導數判斷出函數的單調性，即可得證．

解答：（1）解：∵ak(x)=

C

k-1 n

(

1

2

x)k-1，k=1，2，3，…，n+1
∴a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次為

C

0 n

=1，

C

1 n

•

1

2

=

n

2

，

C

2 n

•(

1

2

)2=

n(n-1)

8

∵a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次成等差數列，
∴2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

∴n=8；
（2）證明：∵F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x）+…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）=

C

0 n

+2

C

1 n

•

1

2

x+…+(n+1)

C

n n

•(

1

2

x)n
∴F（2）=

C

0 n

+2

C

1 n

+…+(n+1)

C

n n

設S_n=

C

0 n

+2

C

1 n

+…+(n+1)

C

n n

，倒序可得S_n=(n+1)

C

n n

+…+2

C

1 n

+

C

0 n

考慮到C_n^k=C_n^n-k，將以上兩式相加得：2S_n=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²…+C_n^n-1+C_nⁿ）
所以S_n=（n+2）2^n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2^n-1-1
又當x∈[0，2]時，F'（x）≥0恒成立，從而F（x）是[0，2]上的單調遞增函數，
所以對任意x₁，x₂∈[0，2]，|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2^n-1-1＜（n+2）2^n-1．

點評：本題考查二項式定理與數列的綜合，考查等差數列，考查倒序相加法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．