【題目】已知函數(shù),.
(1)若在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若對(duì)于,恒成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),且函數(shù)有極大值點(diǎn),求證:.
【答案】(1);(2);(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由求得實(shí)數(shù)的值,可求出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用點(diǎn)斜式方程可得出所求切線的方程;
(2)令,且有,對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)由題意得出,可得出,且,代入,利用導(dǎo)數(shù)證明出對(duì)任意的恒成立即可.
(1),則,
直線的斜率為,由題意可得,解得,
所以,,則,則點(diǎn),
因此,所求切線的方程為,即;
(2),恒成立,即恒成立,
令,其中,且,則對(duì)恒成立,
.
①當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí),,不合乎題意;
②當(dāng)時(shí),則.
(i)若,則,對(duì),,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,合乎題意;
(ii)若,則,
令,得,解得,,
由韋達(dá)定理得,則必有,
當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.
所以,,不合乎題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是;
(3),所以,,
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
由于函數(shù)有極大值點(diǎn),則,解得或.
設(shè)方程的兩根分別為、,則,
若,則且,不合乎題意;
若,則且,合乎題意.
由于函數(shù)的極大值點(diǎn)為,則,即,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
且,可得,
令,
,
當(dāng)時(shí),,則,此時(shí).
所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
因?yàn)?/span>,則,因此,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直,且,,是的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)求AE和平面的所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉行促銷活動(dòng),有兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱,箱內(nèi)有一個(gè)“”號(hào)球,兩個(gè)“”號(hào)球,三個(gè)“”號(hào)球、四個(gè)無(wú)號(hào)球,箱內(nèi)有五個(gè)“”號(hào)球,五個(gè)“”號(hào)球,每次摸獎(jiǎng)后放回,每位顧客消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì),消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì),摸得有數(shù)字的球則中獎(jiǎng),“”號(hào)球獎(jiǎng)元,“”號(hào)球獎(jiǎng)元,“”號(hào)球獎(jiǎng)元,摸得無(wú)號(hào)球則沒(méi)有獎(jiǎng)金。
(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì),顧客消費(fèi)額服從正態(tài)分布,某天有位顧客,請(qǐng)估計(jì)消費(fèi)額(單位:元)在區(qū)間內(nèi)并中獎(jiǎng)的人數(shù).(結(jié)果四舍五入取整數(shù))
附:若,則,.
(2)某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì),求其中中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列.
(3)某顧客消費(fèi)額為元,有兩種摸獎(jiǎng)方法,
方法一:三次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
方法二:一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).
請(qǐng)問(wèn):這位顧客選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最值;
(2)函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線斜率為有兩個(gè)零點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知梯形中,,,,四邊形為矩形,,平面平面.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值;
(3)若點(diǎn)在線段上,且直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)、滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)上點(diǎn)M(3,m)到焦點(diǎn)F的距離為4.
(Ⅰ)求拋物線方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),AB為拋物線上過(guò)焦點(diǎn)的任意一條弦,設(shè)直線PA,PB,PF的斜率為k1,k2,k3,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k1+k2=λk3恒成立.若存在,請(qǐng)求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)(在軸上方),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,線段與軸的交點(diǎn)滿足.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)圓是以為直徑的圓,一直線與圓相切,并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,當(dāng),且滿足時(shí),求的面積的取值范圍.
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