【題目】已知是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，點在橢圓上，線段與軸的交點滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）圓是以為直徑的圓，一直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點、，當，且滿足時，求的面積的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先利用平面向量共線得到是線段的中點，再利用三角形的中位線和待定系數(shù)法進行求解；（Ⅱ）先利用直線與圓相切得到，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再利用平面向量的數(shù)量積和判別式為正、三角形的面積公式得到有關(guān)表達式，再利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以 是線段的中點，所以是的中位線，又所以,所以，又因為 ，

解得，所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）因為直線與相切，所以，即

聯(lián)立得.

設(shè)

因為直線與橢圓交于不同的兩點、，

所以，

，

，又因為，所以

解得.

，

設(shè)，則單調(diào)遞增，

所以，即

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若對于，恒成立，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，且函數(shù)有極大值點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當（為自然對數(shù)的底數(shù)），時，若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的左頂點，且點在橢圓上， 分別是橢圓的左、右焦點。過點作斜率為的直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若為等腰三角形，求點的坐標；

（3）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當且時.

①若有兩個極值點，（），求證：；

②若對任意的，都有成立，求正實數(shù)t的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形中，，，為的中點，為中點．將沿折起到，使得平面平面（如圖2）．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一幅標準的三角板如圖1中，為直角，，為直角，，且，把與拼齊使兩塊三角板不共面，連結(jié)如圖2.

（1）若是的中點，是的中點，求證：平面；

（2）在《九章算術(shù)》中，稱四個面都是直角三角形的三棱錐為“鱉臑”，若圖2中，三棱錐的體積為2，則圖2是否為鱉臑？說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求過點的的切線方程；

（2）當時，求函數(shù)在的最大值；

（3）證明：當時，不等式對任意均成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)， ）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊.

（1）求修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊面積的最小值；

（2）若景區(qū)中心與木棧道段連線的.

①將木棧道的長度表示為的函數(shù)，并指定定義域；

②求出木棧道的長度最小值.

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