【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)上點(diǎn)M(3,m)到焦點(diǎn)F的距離為4.

(Ⅰ)求拋物線方程;

(Ⅱ)點(diǎn)P為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),AB為拋物線上過焦點(diǎn)的任意一條弦,設(shè)直線PA,PB,PF的斜率為k1,k2,k3,問是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k1+k2=λk3恒成立.若存在,請求出λ的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線方程為y2=4x;(2)見解析.

【解析】

由拋物線的定義,到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離即可求出,即可得到方程

求出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,設(shè)出直線,聯(lián)立方程,消去得到的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,設(shè),,,運(yùn)用斜率公式,化簡整理,注意點(diǎn)在拋物線上,且全部轉(zhuǎn)化為的式子,即可判斷

(I)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為(,0),準(zhǔn)線為x=

由拋物線的定義可知:4=3,p=2

∴拋物線方程為y2=4x;

(II)由于拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F為(1,0),準(zhǔn)線為x=﹣1,

設(shè)直線AB:x=my+1,與y2=4x聯(lián)立,消去x,整理得:

y2﹣4my﹣4=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(﹣1,t),有

易知,而

==

==2k3

∴存在實(shí)數(shù)λ=2,使得k1+k2=λk3恒成立.

練習(xí)冊系列答案
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(1)設(shè)一次訂購量為張,辦公桌的實(shí)際出廠單價(jià)為元,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

(2)當(dāng)一次性訂購量為多少時(shí),該家具廠這次銷售辦公桌所獲得的利潤最大?其最大利潤是多少元?(該家具廠出售一張辦公桌的利潤=實(shí)際出廠單價(jià)-成本)

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