Question

【題目】有一個(gè)“亂點(diǎn)鴛鴦譜”節(jié)目：每次邀請(qǐng)四對(duì)青年夫妻，先由每人隨機(jī)抽簽獲得順序展示才藝，再由觀眾通過(guò)投票的方式實(shí)施男女配對(duì)（觀眾不知道他們的真實(shí)配對(duì)情況）.

（Ⅰ）求正確配對(duì)家庭數(shù)的期望；

（Ⅱ）設(shè)有對(duì)夫妻，記他們完全錯(cuò)位的配對(duì)種類總數(shù)為.

①求， ， ；

②推導(dǎo)， ， 所滿足的關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析: (1)設(shè)正確配對(duì)的家庭數(shù)為 ,則的可能取值為0,1,2,4,再分別求出 時(shí)的概率,寫(xiě)出的分布列,求出期望; (2)先求出 ,利用元素一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系以及排列相關(guān)知識(shí)求出 的關(guān)系.

試題解析:（Ⅰ）設(shè)正確配對(duì)的家庭數(shù)為，則的所有可能取值為.

， ， ，

.

∴的分布列為

.

（Ⅱ）①由題意可知， ， ， .

②對(duì)于個(gè)的元素，

及其對(duì)應(yīng)元素，

由于不能對(duì)應(yīng)，則與除去以外的個(gè)元素之一對(duì)應(yīng)，不妨設(shè)與對(duì)應(yīng)，則的對(duì)應(yīng)分兩類：

其（一）： 與對(duì)應(yīng)，即

其余個(gè)元素的錯(cuò)位排列總數(shù)為；

其（二）： 不與對(duì)應(yīng)，即

其余個(gè)元素的錯(cuò)位排列總數(shù)為，

于是， .