Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．有下列判斷： ①直線AC與直線C1E是異面直線；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱錐E﹣AA1O的體積為定值；④AE+EC1的最小值為2 ．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖，

對(duì)于①，∵直線AC經(jīng)過平面BCC1B1內(nèi)的點(diǎn)C，而直線C1E在平面BCC1B1內(nèi)不過C，∴直線AC與直線C1E是異面直線，故①正確；

對(duì)于②，當(dāng)E與B重合時(shí)，AB1⊥A1B，而C1B1⊥A1B，∴A1B⊥平面AB1C1，則A1E垂直AC1，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由題意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心為O是AC1 與A1C 的交點(diǎn)，則△AA1O的面積為定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距離為定值，∴三棱錐E﹣AA1O的體積為定值，故③正確；

對(duì)于④，設(shè)BE=x，則B1E=2﹣x，∴AE+EC1= ．由其幾何意義，即平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)（x，1）與兩定點(diǎn)（0，0），（2，0）距離和的最小值知，其最小值為2 ，故④正確．

∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．

故選：C．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形．