Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=

2

．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD
（2）求PD與平面PAB所成角正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB中點(diǎn)E，連PE、CE，證明PE⊥平面ABCD，即可證明平面PAB⊥平面ABCD
（2）以AB中點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
求出PD與平面PAB所成角的正弦值，即可求PD與平面PAB所成角正切值．

解答： （1）證明：如圖所示，取AB中點(diǎn)E，連PE、CE．
則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，∴PE⊥AB．
∵PE=1，CE=

3

，PC=2，即PE²+CE²=PC²．
由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．
又∵AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD．
而PE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：以AB中點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，-1，0），C（

3

，0，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，1），

PD

=（

3

，-2，-1），

EC

=（

3

，0，0），
∴PD與平面PAB所成角的正弦值為

3

3+4+1 • 3

=

6

4

，
∴PD與平面PAB所成角正切值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．