Question

如圖1，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB=45°，F(xiàn)為

BC

的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由∠CAB=45°，知∠COB=90°，由F為

BC

的中點(diǎn)，知∠FOB=45°，從而得到OF∥AC，由此能證明OF∥平面ACD．
（2）存在，E為AD中點(diǎn)．由已條條件推導(dǎo)出OE⊥AD，AD⊥OC，從而得到AD⊥平面OCE，由此能求出在AD上是存在點(diǎn)E，E為AD中點(diǎn)，使得平面OCE⊥平面ACD．

解答： （1）證明：∵∠CAB=45°，∴∠COB=90°，
又∵F為

BC

的中點(diǎn)，∴∠FOB=45°，
∴OF∥AC，又AC?平面ACD，OF?平面ACD，
∴OF∥平面ACD．
（2）解：存在，E為AD中點(diǎn)，
∵OA=OD，∴OE⊥AD，
又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直，
∴OC⊥平面OAD，
又AD?平面OAD，∴AD⊥OC，
∴AD⊥平面OCE，
又AD?平面ACD，∴平面OCE⊥平面ACD．
∴在AD上是存在點(diǎn)E，E為AD中點(diǎn)，使得平面OCE⊥平面ACD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查直線(xiàn)上是否存在使平面與平面垂直的點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．