Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x＋2x²－3x.

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)x≥時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≥x²＋ (a－3)x＋1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解析：(1) 的定義域?yàn)镽，f′(x)＝e^x＋4x－3，則f′(1)＝e＋1，

又f(1)＝e－1，∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－e＋1＝(e＋1)(x－1)，

即(e＋1)x－y－2＝0.

(2)由f(x)≥x²＋(a－3)x＋1，得

e^x＋2x²－3x≥x²＋(a－3)x＋1，

即ax≤e^x－x²－1.

令φ(x)＝e^x(x－1)－x²＋1，

則φ′(x)＝x(e^x－1)．

∵x≥，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在上單調(diào)遞增，

∴φ(x)≥φ＝－ ＞0，

因此g′(x)＞0，故g(x)在，＋∞上單調(diào)遞增，

則g(x)≥g＝＝2－，

∴a的取值范圍是