Question

5．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D′是棱A′C′的中點(diǎn)，且AA′=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）證明：BC′∥平面AB′D′；
（Ⅱ）棱CC′上是否存在一點(diǎn)M，使A′M⊥平面AB′D′，若存在，求出CM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 連結(jié)A′B交AB′于點(diǎn)E，連結(jié)D′E，證明D′E∥BC′，利用在與平面平行的判定定理證明BC′∥平面AB′D′．
（Ⅱ） 作A′M⊥AD′，交CC′于M，通過證明△A′AD∽△C′A′M，求出CM的長，得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ） 連結(jié)A′B交AB′于點(diǎn)E，連結(jié)D′E，
∵四邊形A′ABB′為矩形，∴E為A′B的中點(diǎn)，
又∵D′是棱A′C′的中點(diǎn)
∴D′E∥BC′
∵D′E?平面AB′D′BC′?平面AB′D′
∴BC′∥平面AB′D′…（6分）
（Ⅱ） 作A′M⊥AD′，交CC′于M
∵D′是棱A′C′的中點(diǎn)
∴B′D′⊥A′C′
∴B′D′⊥平面A′ACC′
∴B′D′⊥A′M
∴A′M⊥平面AB′D′
此時(shí)△A′AD∽△C′A′M
∴$\frac{A'A}{A'D'}=\frac{A'C'}{C'M}$，即$C'M=\frac{A'C'•A'D'}{A'A}=\frac{2×1}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$CM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
即當(dāng)$CM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，A′M⊥平面AB′D′．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．