Question

14．已知實數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x+y-3≥0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范圍為（　　）

• A． [2，$\frac{5}{2}$]
• B． [$\frac{5}{2}$，$\frac{10}{3}$]
• C． [2，$\frac{10}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，2]

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求得$\frac{y}{x}$的范圍，令t=$\frac{y}{x}$，由函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x+y-3≥0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，則A（3，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，則B（1，2），
由圖可知，$\frac{y}{x}$的最小值為$\frac{1}{3}$，最大值為2．
令t=$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{3}，2$]，f（t）=$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=t+\frac{1}{t}$，
則當(dāng)t=1時，t+$\frac{1}{t}$有最小值為2；
又$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{3}+\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{10}{3}$，f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范圍是[2，$\frac{10}{3}$]．
故選：C．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．