Question

（本小題滿分14分）已知遞增等差數(shù)列中的是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)．?dāng)?shù)列滿足，點(diǎn)在直線上，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. 第一問(wèn)，先解出函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由于數(shù)列是遞增數(shù)列，排除一組解，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求，利用點(diǎn)在直線上，得到與的關(guān)系式，再利用證出數(shù)列是等比數(shù)列，最后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)的結(jié)論，先求出表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求和，在此過(guò)程中要用到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算.

試題解析：（1）∵，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則

，解得：或. ..2分

又等差數(shù)列遞增，則，∴ .4分

∵點(diǎn)在直線上，則。

當(dāng)時(shí)，，即. .5分

當(dāng)時(shí)， ，即. .. 6分

∴數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即. . 7分

（2）由（1）知：且， ... 8分

則 ...9分

∴①

② . 10分

①-②得： . 12分

∴. 或?qū)?. 14分

考點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.