Question

【題目】如圖，己知、是橢圓的左、右焦點，直線經過左焦點，且與 橢圓交兩點，的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可知：，，，即可求得橢圓方程；

（Ⅱ）分類討論：假設，利用作差法，即可求得. (與，，矛盾），將直線方程代入橢圓方程由韋達定理：矛盾，故.再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰，由勾股定理得：，此方程無解.故不存在這樣的等腰直角三角形.

解析：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，因為直線與軸的交點為，故.

又的周長為，即，故，所以，.

因此，橢圓的標準方程力.

注：本小題也可以用焦點和離心率作為條件，即將周長換離心率.

（Ⅱ）不存在.理由如下：

先用反證法證明不可能為底邊，即.

由題意知，設，，假設，則，

又，，代入上式，消去，得：.

因為直線斜率存在，所以直線不垂直于軸，所以，故.

(與，，矛盾）

聯立方程，得： ，所以矛盾.

故.

再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰.

假設為等腰直角三角形，不妨設為直角頂點.

設，則，在中，由勾股定理得：，此方程無解.

故不存在這樣的等腰直角三角形.