Question

15．邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的中心為O，過點(diǎn)O作平面ABCD的垂線，在其上取點(diǎn)V，使OV=1，連接VA，VB，VC，VD．
（1）在直線VC上找一點(diǎn)E，使VC⊥BE；
（2）在（1）的條件下，求BE與平面VDB所成的角的余弦值；
（3）在（1）的條件下，求E到平面VBD的距離．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OV為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出E是VC中點(diǎn)．
（2）求$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，求出$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），由此利用向量法能求出BE與平面VDB所成的角的余弦值．
（3）由$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），利用向量法能求出E到平面VBD的距離．

解答 解：（1）∵邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的中心為O，過點(diǎn)O作平面ABCD的垂線，在其上取點(diǎn)V，使OV=1，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OV為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，1，0），V（0，0，1），C（-1，0，0），
設(shè)E（a，0，c），$\overrightarrow{VE}=λ\overrightarrow{VC}$，（0≤λ≤1），
$\overrightarrow{VE}$=（a，0，c-1），$λ\overrightarrow{VC}$=（-λ，0，-λ），$\overrightarrow{VC}$=（-1，0，-1），∴a=-λ，c=1-λ，
∴E（-λ，0，1+λ），$\overrightarrow{BE}$=（-λ，-1，1-λ），
∵VC⊥BE，∴$\overrightarrow{VC}•\overrightarrow{BE}$=λ-1+λ=0，
解得$λ=\frac{1}{2}$，∴E是VC中點(diǎn)．
（2）∵正方形ABCD的中心為O，∴OA⊥BD，
∵過點(diǎn)O作平面ABCD的垂線，在其上取點(diǎn)V，使OV=1，∴AO⊥PO，
∴AO⊥平面VBD，∴$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，
∵E是VC中點(diǎn)，∴E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），
設(shè)BE與平面VDB所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{OA}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{OA}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴BE與平面VDB所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
（3）∵$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，
$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），
∴E到平面VBD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴E到平面VBD的距離為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的點(diǎn)的位置的確定，考查線面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．