Question

3．已知a，b均為大于1的實(shí)數(shù)．則2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_a}$的最小值為${2}^{\sqrt{2}+1}$．

Answer 1

分析 先換元，設(shè)t=log_ab，原式可寫成${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，再兩次運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮，并且兩次放縮取等條件一致，從而得出原式的最小值．

解答 解：設(shè)t=log_ab，則$\frac{1}{t}$=log_ba，
因?yàn)�，a＞1，b＞1，所以，t＞0，$\frac{1}{t}$＞0，
原式=2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_a}$=${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，
根據(jù)基本不等式，
${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$≥2•$\sqrt{{2}^{t}•{4}^{\frac{1}{t}}}$=2•$\sqrt{{2}^{t+\frac{2}{t}}}$≥2$\sqrt{{2}^{2\sqrt{2}}}$=${2}^{\sqrt{2}+1}$，
所以，2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_a}$的最小值為${2}^{\sqrt{2}+1}$，
當(dāng)且僅當(dāng)：2^t=${4}^{\frac{1}{t}}$且t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$（兩次放縮取等條件一致），原式取得最小值，
故答案為：${2}^{\sqrt{2}+1}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，涉及對數(shù)的運(yùn)算和換元法的運(yùn)用，尤其是兩次放縮能同時(shí)取等，屬于中檔題．