Question

10．已知點(diǎn)A（1，3），而且F₁是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，求|PA|-|PF₁|的最小值．

Answer 1

分析 可先畫出圖形，根據(jù)橢圓的定義可得到|PA|-|PF₁|=|PA|+|PF₂|-6，從而只要求|PA|+|PF₂|的最小值便可得出|PA|-|PF₁|的最小值，而通過(guò)圖形便可看出|PA|+|PF₂|的最小值為|AF₂|，這樣即可求出|PA|-|PF₁|的最小值．

解答 解：如圖，

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₂（2，0），根據(jù)橢圓的定義：
|PF₁|+|PF₂|=2a=6；
∴|PF₁|=6-|PF₂|；
∴|PA|-|PF₁|=|PA|-（6-|PF₂|）=|PA|+|PF₂|-6；
∴|PA|+|PF₂|最小時(shí)，|PA|-|PF₁|最��；
由圖看出|PA|+|PF₂|的最小值為|AF₂|=$\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$；
∴|PA|-|PF₁|的最小值為$\sqrt{10}-6$．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)，以及橢圓的定義，兩邊之和大于第三邊定理．