Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E為PD的中點，F(xiàn)在AD上且∠FCD=30°．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）若PA=2AB=2，求四面體P-ACE的體積．

Answer 1

分析 （1）證明F為AD的中點，利用三角形中位線，得出EF∥PA，從而EF∥平面PAB．證出CF∥AB，從而CF∥平面PAB．最后結(jié)合面面平行的判定定理，得到平面CEF∥平面PAB，所以CE∥平面PAB；
（2）利用等體積法，根據(jù)錐體體積公式算出三棱錐P-ACE的體積．

解答 （1）證明：∵ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，
∴∠FDC=30°，
∵∠FCD=30°，
∴∠ACF=60°，
∴AF=CF=DF，
∴F為AD的中點，
∵E為PD的中點，
∴△PAD中，EF是中位線，可得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，∴EF∥平面PAB；
∵∠BAC=∠ACF=60°，
∴CF∥AB
∵CF?平面PAB，AB?平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF內(nèi)的相交直線，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE?面CEF，∴CE∥平面PAB；
（2）解：∵EF∥AP，
∴EF∥平面APC，
∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=60°，PA=2AB=2，
∴AC=2AB=2，CD=$\frac{AC}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴V_P-ACE=V_E-PAC=V_F-PAC=V_P-ACF=$\frac{1}{3}$S_△ACD×PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題給出特殊的四棱錐，求證線面平行并求三棱錐的體積，著重考查了空間直線與平面平行的判定、平面與平面平行的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．