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【題目】如圖，在中，，，為的中點，，.現將沿翻折至，得四棱錐.

（1）證明：；

（2）若，求直線與平面所成角的正切值

【答案】（1）證明見解析；（2）7

【解析】

（1）設為的中點，通過證明，來證明面，從而證得；

（2）法一：連結，設在面上的射影點為，則由題知點在上，且為直線與平面所成角，通過條件算出，，即可求得直線與平面所成角的正切值；

法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，運用向量法求解直線與平面所成角的正切值.

（1）設為的中點，為的中點，，則，

故，則，

又，則，

所以是的角平分線，且三點共線.

由，且,得面，則；

（2）法一：連結.

由平面得，平面平面，交線為，

所以在面上的射影點在上，

為直線與平面所成角.

在中，，由余弦定理得，

，故，，

又，在得，由余弦定理得，則，

所以，

由（1）得為角平分線，

在中，，由余弦定理得，則，所以

，所以直線與平面所成角的正切值為7.

法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系.

，

設，由，得

，

得.,

平面法向量為，設直線與平面所成角為，所以

，,則，

所以直線與平面所成角的正切值為7.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨機調查某城市80名有子女在讀小學的成年人，以研究晚上八點至十點時間段輔導子女作業(yè)與性別的關系，得到下面的數據表：

　　　　是否輔導

性別

輔導

不輔導

合計

男

25

60

女

合計

40

80

（1）請將表中數據補充完整；

（2）用樣本的頻率估計總體的概率，估計這個城市有子女在讀小學的成人女性晚上八點至十點輔導子女作業(yè)的概率；

（3）根據以上數據，能否有99%以上的把握認為“晚上八點至十點時間段是否輔導子女作業(yè)與性別有關？”.

參考公式：，其中.

參考數據：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】羽毛球比賽中，首局比賽由裁判員采用拋球的方法決定誰先發(fā)球，在每回合爭奪中，贏方得1分且獲得發(fā)球權．每一局中，獲勝規(guī)則如下：①率先得到21分的一方贏得該局比賽；②如果雙方得分出現，需要領先對方2分才算該局獲勝；③如果雙方得分出現，先取得30分的一方該局獲勝．現甲、乙兩名運動員進行對抗賽，在每回合爭奪中，若甲發(fā)球時，甲得分的概率為；乙發(fā)球時，甲得分的概率為．

（Ⅰ）若，記“甲以贏一局”的概率為，試比較與的大��；

（Ⅱ）根據對以往甲、乙兩名運動員的比賽進行數據分析，得到如下列聯表部分數據．若不考慮其它因素對比賽的影響，并以表中兩人發(fā)球時甲得分的頻率作為，的值．

甲得分

乙得分

總計

甲發(fā)球

50

100

乙發(fā)球

60

90

總計

190

①完成列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“比賽得分與接、發(fā)球有關”？

②已知在某局比中，雙方戰(zhàn)成，且輪到乙發(fā)球，記雙方再戰(zhàn)回合此局比賽結束，求的分布列與期望．

參考公式：，其中．

臨界值表供參考：

0.15

0.10

0.05

0.010

0.001

2.072

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經過點離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經過橢圓左焦點的直線(不經過點且不與軸重合)與橢圓交于兩點，與直線:交于點，記直線的斜率分別為.則是否存在常數，使得向量 共線？若存在求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年初，新型冠狀病毒肺炎（COVID－19）在我國爆發(fā)，全國人民團結一心、積極抗疫，為全世界疫情防控爭取了寶貴的時間，積累了豐富的經驗.某研究小組為了研究某城市肺炎感染人數的增長情況，在官方網站．上搜集了7組數據，并依據數據制成如下散點圖：

圖中表示日期代號（例如2月1日記為“1”，2月2日記為“2”，以此類推）．通過對散點圖的分析，結合病毒傳播的相關知識，該研究小組決定用指數型函數模型來擬合，為求出關于的回歸方程，可令，則與線性相關．初步整理后，得到如下數據：，．

（1）根據所給數據，求出關于的線性回歸方程：

（2）求關于的回歸方程；若防控不當，請問為何值時，累計確診人數的預報值將超過1000人?（參考數據：，結果保留整數）

附：對于一組數據，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數學教師為了調查高三學生數學成績與線上學習時間之間的相關關系，對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數學平均成績不足120分的占，統(tǒng)計成績后得到如下列聯表：

分數不少于120分

分數不足120分

合計

線上學習時間不少于5小時

4

19

線上學習時間不足5小時

合計

45

（1）請完成上面列聯表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”；

（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數不少于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數是，求的分布列（概率用組合數算式表示）；

②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數的期望和方差.

（下面的臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式其中）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的內角A，B，C的對邊長分別等于a，b，c，列舉如下五個條件:①；②；③cosA+cos2A=0；④a=4；⑤△ABC的面積等于.

（1）請在五個條件中選擇一個(只需選擇一個)能夠確定角A大小的條件來求角A；

（2）在（1）的結論的基礎上，再在所給條件中選擇一個(只需選擇一個)，求△ABC周長的取值范圍

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了增強學生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況，在北京市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數如下：

（Ⅰ）現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查.求選出的2所學校參與越野滑輪人數都超過40人的概率；

（Ⅱ）現有一名旱地冰壺教練在這10所學校中隨機選取2所學校進行指導，記X為教練選中參加旱地冰壺人數在30人以上的學校個數，求X的分布列和數學期望；

（Ⅲ）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術指導.規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導前，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導后的考核中，甲同學總考核成績?yōu)?/span>“優(yōu)”.能否認為甲同學在指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化？請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.

（Ⅰ）當時,證明:平面平面；

（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.

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