Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4．若函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為45°，
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，1]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率等于1，建立關(guān)于a的方程，解之即可；
（2）先求出f′（x）=0，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而來確定出最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²-4，
∴f'（x）=-3x²+2ax，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為45°，
∴-3+2a=1，
∴a=2；
（Ⅱ））由（1）得：f（x）=-x³+2x²-4，
∴f'（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

），
令f'（x）＜0，并且函數(shù)的定義域為：[-1，1]，
則有f（x）在[-1，0]遞減；f（x）在[0，1]遞增
∴f（x）在[-1，1]的最小值為f（0）=-4．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)高考新增內(nèi)容，是�？嫉闹�識點，屬于基礎(chǔ)題．