Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n-1-4n（N≥2，n∈N^*），數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．
（1）證明：數(shù)列{a_n+2n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求S_n．
（3）設(shè)b_n=

|Sn|

n

•（

9

10

）ⁿ，求b_2n的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接把給出的數(shù)列遞推式變形，即由a_n=-a_n-1-4n得到a_n+2n+1=-[a_n-1+2（n-1）+1]，由此證得數(shù)列
{a_n+2n+1}是等比數(shù)列，求出其通項公式后可得{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{a_n+2n+1}的前n項和，即可求得數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）把S_n代入b_n=

|Sn|

n

•（

9

10

）ⁿ，得到b_2n的表達式，作比得到使b_2n取最大值的n值，則b_2n的最大值可求．

解答： （1）證明：由a_n=-a_n-1-4n，得
a_n+2n+1=-a_n-1-2n+1=-[a_n-1+2（n-1）+1]，
∵a₁=3，
∴a₁+2（1-1）+1=4≠0，
∴數(shù)列{a_n+2n+1}是等比數(shù)列，
則an+2n+1=4×(-1)n-1，
∴an=4×(-1)n-1-2n-1；
（2）解：∵數(shù)列{a_n+2n+1}是等比數(shù)列，
∴其錢n項和（a₁+a₂+…+a_n）+（3+5+…+2n+1）=

4[1-(-1)n]

1-(-1)

=2-2•(-1)n，
∴Sn=2-2•(-1)n-

(3+2n+1)n

2

=2-2•（-1）ⁿ-n²-2n；
（3）解：由b_n=

|Sn|

n

•（

9

10

）ⁿ，
得b2n=

|S2n|

2n

•(

9

10

)2n=

4n2+4n

2n

•(

9

10

)2n=(2n+2)•(

9

10

)2n．
由

b2n+2

b2n

=

(2n+4)•( 9 10 )2n+2

(2n+2)•( 9 10 )2n

=

81

100

(1+

2

2n+2

)≥1，
得n≤

62

19

．
∴當(dāng)n=3時，b_2n=b₆最大，最大值為b6=8×(

9

10

)6．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列和的求法，考查了作商法比較兩數(shù)的大小，是中高檔題．