Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，左右兩頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與過點(diǎn)且與軸垂直的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

利用直線的斜率之積為,得到的關(guān)系式,再利用橢圓定義可得,,即可求出,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

求得及焦點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線,則，的中點(diǎn)為,設(shè),聯(lián)立消去,求出用k表示,分和兩種情況,分別證明即可.

根據(jù)題意，

設(shè)，所以，

所以,故，從而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

證明:設(shè)直線，則：,的中點(diǎn)為為，

聯(lián)立，消去整理得：

設(shè)，由韋達(dá)定理得：，解得：，

故有：， 又，

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)軸，

所以四邊形為矩形，所以，

所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>,

所以直線，即：，

所以點(diǎn)到直線的距離， 而，

即知：，所以以為直徑的圓與直線相切，

因?yàn)樗倪呅?/span>為直角梯形，的中點(diǎn)為，

所以.

綜上可知,.