Question

（2010•臺州一模）我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A（-3，4），且法向量為

n

=(1，-2)的直線（點法式）方程為1×（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化簡得x-2y+11=0． 類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點A（3，4，5），且法向量為

n

=(2，1，3)的平面（點法式）方程為

2x+y+3z-21=0

（請寫出化簡后的結果）．

Answer 1

分析：類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則

AP

=(x-3，y-4，z-5)，利用平面法向量為

n

=(2，1，3)，即可求得結論．

解答：解：類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則

AP

=(x-3，y-4，z-5)
∵平面法向量為

n

=(2，1，3)
∴2（x-1）+1×（y-4）+3（z-5）=0
∴2x+y+3z-21=0
故答案為：2x+y+3z-21=0

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．由于平面向量與空間向量的運算性質相似，故我們可以利用求平面曲線方程的辦法，構造向量，利用向量的性質解決空間內平面方程的求解．