已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M對應(yīng)的變換下得到點P′（-4，0），如果正實數(shù)λ是矩陣M的特征值，α是對應(yīng)的一個特征向量且|α|=2
13
，求向量λ的值與向量α．
考點：特征值與特征向量的計算
專題：計算題,矩陣和變換
分析：首先根據(jù)矩陣的變換列出方程式 求出實數(shù)a的值．求出M的矩陣后寫出其特征多項式，令f（λ）=0，得矩陣M的特征值，再由條件可得特征值解出特征向量．
解答： 解：由
2a
21
•
1
-2
=
-4
0
，可得，2-2a=-4，解得a=3．
則M=
23
21
，則矩陣M的特征多項式為f（λ）=
.
λ-2-3
-2λ-1
.

=（λ-2）（λ-1）-6=λ2-3λ-4，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與4．
由于正實數(shù)λ是矩陣M的特征值，則λ=4，
由特征方程組
4x-2x-3y=0
4y-2x-y=0
，解得2x=3y．
由于α是對應(yīng)的一個特征向量且|α|=2
13
，
則
x2+y2
=2
13
，且2x=3y，解得，
x=6
y=4
或
x=-6
y=-4
．
故λ=4，
a
=（6，4）或（-6，-4）．
點評：本題主要考查矩陣與向量的乘法，和矩陣特征值及特征向量的求法．考查計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)gn（x）=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
(n∈N*)，p（x）=
ex-gn(x)
x
（e是自然對數(shù)的底）
（1）當(dāng)n=1時，判斷函數(shù)p（x）有沒有零點，并說明理由；
（2）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f（x）=
p(x)，x≠0
0，x=0
的最小值；
（3）數(shù)列{an}的通項為an=(
2
n
)n-1，前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n，比較gn（1）與Sn+1的大小，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

討論函數(shù)y=
ax-1
ax+1
的單調(diào)性．

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解下列不等式：
（1）log73x＜log7（4-x）；
（2）loga（2a-1）＞1（其中a＞0，且a≠1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算：
（1）2（lg
2
）2+lg
2
•lg5+
(lg
2
)2-lg2+1
；
（2）2log32-log3
32
9
+log38-25log53．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲從空間四邊形的四個頂點中任意選擇兩點連成直線，乙也從該四邊形的四個頂點中任意選擇兩點連成直線，則所得的兩條直線互為異面直線的概率為（　�。�
A、
1
2
B、
1
4
C、
1
6
D、
1
12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞0且a≠1，則函數(shù)y=ax+1-1的圖象恒過一定點，該定點的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=[sin(x+
θ
2
)+
3
cos(x+
θ
2
)]•cos(x+
θ
2
)為偶函數(shù)，且θ∈[0，π]，
（1）求θ的值；
（2）函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)有且僅有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1的漸近線過點M（1，2），則該雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
2
B、
6
2
C、
3
D、
5

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