Question

設(shè)函數(shù)g_n（x）=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

(n∈N*)，p（x）=

ex-gn(x)

x

（e是自然對數(shù)的底）
（1）當(dāng)n=1時(shí)，判斷函數(shù)p（x）有沒有零點(diǎn)，并說明理由；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

的最小值；
（3）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為an=(

2

n

)n-1，前n項(xiàng)和為S_n，對任意正整數(shù)n，比較g_n（1）與S_n+1的大小，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求出函數(shù)p（x）=

ex-x-1

x

（x≠0），令h（x）=e^x-x-1，x≠0，轉(zhuǎn)化求h（x）的零點(diǎn)問題．
（2）當(dāng)n=2時(shí)，g（x）=1+x+

x2

2

，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

，函數(shù)f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

，
當(dāng)x≠0時(shí)，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

=

ex

x

-

x

2

-

1

x

-1，
求導(dǎo)數(shù)，分解因式p′（x）=

xex-ex+1-x2

x2

=

(x-1)•(ex-x-1)

x2

，
利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間，最值問題，再比較大小，得出最小值．
（3）展開：對任意正整數(shù)n，1+（

2

2

）²+（

2

3

）³+（

2

4

）⁴+…+（

2

n+1

）ⁿ≤g_n（1）=1+1+

1

2！

+

1

3！

+…+

1

n！

．
即轉(zhuǎn)化證明：n!≤（

n+1

2

）ⁿ，選擇利用均值不等式證明大小．

解答： 解：（1）函數(shù)g_n（x）=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

(n∈N*)，p（x）=

ex-gn(x)

x

（e是自然對數(shù)的底）
當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)g（x）=1+x，函數(shù)p（x）=

ex-x-1

x

（x≠0）
令h（x）=e^x-x-1，x≠0，則h′（x）=e^x-1，x≠0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）=e^x-1＞0，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h′（x）=e^x-1＜0，
所以：h（x）=e^x-x-1，在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（0）=0，
可判斷h（x）=e^x-x-1＞0恒成立，h（x）無零點(diǎn)，
所以當(dāng)n=1時(shí)，判斷函數(shù)p（x）沒有零點(diǎn)，
（2）當(dāng)n=2時(shí)，g（x）=1+x+

x2

2

，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

，
函數(shù)f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

，
當(dāng)x≠0時(shí)，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

=

ex

x

-

x

2

-

1

x

-1，

p′（x）=

xex-ex+1-x2

x2

=

(x-1)•(ex-x-1)

x2

，
y=e^x-x-1，y′=e^x-1
p′（x）=0，x=1，
p′（x）＞0，x＞1，
p′（x）＜0，0＜x＜1，或x＜0，
所以p（x）在（-∞，0）（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
p（1）=e-1-1-

1

2

=e-

5

2

＜0，
p（0）=0
可知：函數(shù)f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

的最小值為：e-

5

2

，
（3）S_n+1≤g_n（1）
即對任意正整數(shù)n，1+（

2

2

）²+（

2

3

）³+（

2

4

）⁴+…+（

2

n+1

）ⁿ≤g_n（1）=1+1+

1

2！

+

1

3！

+…+

1

n！

成立．
即要證明對任意正整數(shù)n，不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ成立
根據(jù)基本不等式：
∵

n•1

≤

n+1

2

，

(n-1).2

≤

n+1

2

，

(n-2)•3

≤

n+1

2

，…，

1•n

≤

n+1

2

將以上n個(gè)不等式相乘，得n!≤（

n+1

2

）ⁿ
所以對任意正整數(shù)n，不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ都成立．
綜上可知，對任意正整數(shù)n，不等式1+（

2

2

）²+（

2

3

）³+（

2

4

）⁴+…+（

2

n+1

）ⁿ≤g_n（1）=1+1+

1

2！

+

1

3！

+…+

1

n！

成立
即對任意正整數(shù)n，g_n（1）≤S_n+1成立．

點(diǎn)評：本題綜合考察了函數(shù)，數(shù)列，不等式的關(guān)系，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，均值不等式，解決問題；考察的問題需要很多數(shù)學(xué)知識(shí)思想方法求解，運(yùn)算化簡能力較強(qiáng)．