Question

10．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中所有的二次項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是144．

Answer 1

分析 依題意得，由二項(xiàng)式系數(shù)和2ⁿ=1024，求得n的值，求出展開式的通項(xiàng)公式，再令通項(xiàng)公式中x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：依題意得，由二項(xiàng)式系數(shù)和2ⁿ=1024，解得n=10；
由于展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{10}^{r}•{2}^{r}•{x}^{5-\frac{5}{2}r}$
令5-$\frac{5}{2}$r=0，解得r=2，
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{10}^{2}•{2}^{2}$=144．
故答案為：144．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．