Question

17．（普通中學(xué)做）已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）利用原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間[1，e]，分別對(duì)a進(jìn)行討論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f'（x）=$\frac{2（x+a）（x-a）}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，$\sqrt{a}$）時(shí)，f'（x）＜0；x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；
故減區(qū)間為（0，$\sqrt{a}$），增區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞）．
（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[1，e]上遞增，
f（x）最小值為f（1）=1，符合題意，
故a≤0．
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在[1，e]上遞增，f（x）最小值為f（1）=1，符合題意；
故0＜a≤1；
③當(dāng)a≥e²時(shí)，f（x）在[1，e]上遞減，
f（x）最小值為f（e）=e²-2a=1，a無(wú)解．
⑤當(dāng)1＜a＜e²時(shí)，f（x）在（1，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，e）上遞增，
∴f（x）的最小值為f（$\sqrt{a}$）＜f（1）不符合．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和閉區(qū)間求最值的分類討論．