Question

如圖所示，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的面對(duì)角線(xiàn)A₁B⊥B₁C，求證B₁C⊥C₁A．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是A₁C的中點(diǎn)．取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN、DN，則DN∥A₁B．求證線(xiàn)線(xiàn)垂直，往往尋求線(xiàn)面垂直，只要證得B₁C⊥平面AND即可．

解答： 證明：如圖所示，連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是A₁C的中點(diǎn)．
取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN、DN，則DN∥A₁B．
又A₁B⊥B₁C，∴B₁C⊥DN．
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC．
又平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AN?平面ABC，
∴AN⊥平面BB₁C₁C．
又B₁C?平面BB₁C₁C，∴B₁C⊥AN．
又AN?平面AND，DN?平面AND，AN∩DN=N，
∴B₁C⊥平面AND．
又C₁A?平面AND，∴B₁C⊥AC₁．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和判定，同時(shí)考查了空間想象能力、運(yùn)算求解的能力、以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．