Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=a，a₂=p（p為常數(shù)且p＞0），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=

n(an-a1)

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列{a_n}是不是等差數(shù)列？若是，求其通項公式；若不是，請說是理由．
（Ⅲ）若記P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

（n∈N^*），求證：P₁+P₂+…+P_n＜2n+3．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₁=S₁可求a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=

nan

2

，則Sn+1=

n+1

2

an+1，兩式相減得（n-1）a_n+1=na_n，利用累乘法可求得a_n，由a_n可得結論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

，由裂項相消法可求得P₁+P₂+…+P_n，于是可得結論；

解答： 解：（Ⅰ）依題意a₁=a，又a₁=S1=

1•(a1-a1)

2

=0，
∴a=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₁=0，
∴Sn=

nan

2

，則Sn+1=

n+1

2

an+1，兩式相減得（n-1）a_n+1=na_n，
故有an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a3

a2

•a2=（n-1）p，n≥2，
又a₁=0也滿足上式，∴a_n=（n-1）p，n∈N₊，
故{a_n}為等差數(shù)列，其公差為p．
（Ⅲ）由題意Sn=

n(n-1)p

2

，
∴P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

，
∴P₁+P₂+…+P_n=（2+

2

1

-

2

3

）+（2+

2

2

-

1

2

）+…+（2+

2

n

-

2

n+2

）
=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

＜2n+3．

點評：該題考查等差關系的確定、數(shù)列求和等知識，裂項相消法、累乘法是解決數(shù)列問題的基本方法，要熟練掌握．