Question

18．已知直線l：（a-2）y=（3a-1）x-1
（1）求證：不論實數(shù)a取何值，直線l總經(jīng)過一定點．
（2）為使直線不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a取值范圍．
（3）若直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l方程可整理為：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，由直線系的知識聯(lián)立方程組，解方程組可得定點；
（2）把直線轉(zhuǎn)化為y=$\frac{3a-1}{a-2}$x-$\frac{1}{a-2}$，由直線不經(jīng)過第二象限，得到x的系數(shù)不小于0，且常數(shù)不大于0，由此能求出實數(shù)m的取值范圍，
（3）由題意可得a的范圍，分別令x=0，y=0可得相應的截距，可表示面積，由二次函數(shù)的知識可得結(jié)論．

解答 解：（1）直線l方程可整理為：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=0}\\{-x+2y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線恒過定點（$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{5}$）；
（2）∵（a-2）y=（3a-1）x-1，
∴y=$\frac{3a-1}{a-2}$x-$\frac{1}{a-2}$，
∵直線不經(jīng)過第二象限，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3a-1}{a-2}≥0}\\{\frac{1}{a-2}≤0}\end{array}\right.$，
解得a＞2．
∴實數(shù)m的取值范圍是（a，+∞）；
（3）由題意可知直線的斜率k=$\frac{3a-1}{a-2}$＜0，解得$\frac{1}{3}$＜a＜2，
令y=0可得x=$\frac{1}{3a-1}$，令x=0可得y=$\frac{-1}{a-2}$．
∴S_△=$\frac{1}{2}$•|$\frac{1}{3a-1}$•$\frac{-1}{a-2}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{3{a}^{2}-7a+2}$|，
由二次函數(shù)的知識可知，當時a=$\frac{7}{6}$，三角形面積最小，
此時l的方程為：5y+15x-6=0．

點評 本題考查直線方程過定點的證明，考查直線不過第二象限時參數(shù)的取值范圍的求法涉及函數(shù)最值的求解，屬中檔題．