Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，結(jié)合各棱長(zhǎng)的中點(diǎn)和8個(gè)頂點(diǎn)，在這20個(gè)點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)構(gòu)成的直線中與直線BD₁
垂直的條數(shù)是（　�。�

• A、18
• B、21
• C、27
• D、36

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以B為原點(diǎn)，BC，BA，BB₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，BD₁的坐標(biāo)就是

b

=（1，1，1）把對(duì)于各個(gè)頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)（共20個(gè)點(diǎn)）組成的集合記為集合E，E中的點(diǎn)坐標(biāo)形式（x，y，z） 其中x，y，z可以取的值是{0，

1

2

，1}三者中的一個(gè)．對(duì)x分類討論，能求出任取兩點(diǎn)構(gòu)成的直線中與直線BD₁
垂直的條數(shù)．

解答： 解：以B為原點(diǎn)，BC，BA，BB₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1
那么BD₁的坐標(biāo)就是

b

=（1，1，1）
把對(duì)于各個(gè)頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)（共20個(gè)點(diǎn)）組成的集合記為集合E，
那么E中的點(diǎn)坐標(biāo)形式（x，y，z） 其中x，y，z可以取的值是{0，

1

2

，1}三者中的一個(gè)．
注意到集合E中沒(méi)有面對(duì)角線的交點(diǎn)，也沒(méi)有正方體的中心，
所以上述（x，y，z）中的分量取值至多只能出現(xiàn)一個(gè)

1

2

，
我們把和BD₁垂直的直線對(duì)應(yīng)的向量記為

a

=（x，y，z），
即（x₁-x₂，y₁-y₂，z₁-z₂）
則x，y，z的取值是{0，±

1

2

，±1} 中的一個(gè)．
為了避免重復(fù)限定x≥0，下面對(duì)x分類討論：
（1）當(dāng)x=0時(shí)，要滿足a⊥b，則0+y+z=0≥y+z=0，
此時(shí)y，z的取值可以是y=

1

2

，z=-

1

2

，或y=1，z=-1，或y，z取值互換的另兩種情況：
①對(duì)于y=

1

2

，z=-

1

2

，則對(duì)應(yīng)的直線4條，分別是：
（0，

1

2

，0）-（0，0，

1

2

）
（0，1，

1

2

）-（0，

1

2

，1）
（1，

1

2

，0）-（1，0，

1

2

）
（1，1，

1

2

）-（1，

1

2

，1）
如果y=-

1

2

，z=

1

2

，則上述4條直線中起點(diǎn)和終點(diǎn)交換位置，直線還是同一條，
所以仍然只有4條直線垂直b；
②對(duì)于y=1，z=-1 則對(duì)應(yīng)的直線有3條，分別是：
（0，1，0）-（0，0，1）
（

1

2

，1，0）-（

1

2

，0，1）
（1，1，0）-（1，0，1）
同理y和z交換后直線并沒(méi)有增多，仍然是3條直線垂直b，
綜合（1）的情況，x=0時(shí)對(duì)應(yīng)的直線有3+4=7條；
（2）當(dāng)X=

1

2

時(shí)，要滿足a⊥b，則

1

2

+y+z=0≥y+z=-

1

2

，
此時(shí)y，z的取值可以是y=0，z=-

1

2

，或y=

1

2

，z=-1，或y，z取值互換的另兩種情況：
①對(duì)于y=0，z=-

1

2

，則對(duì)應(yīng)的直線有4條，分別是：
（

1

2

，0，0）-（0，0，

1

2

）
（

1

2

，1，0）-（0，1，

1

2

）
（1，0，

1

2

）-（

1

2

，0，1）
（1，1，

1

2

）-（

1

2

，1，1）
如果y，z互換取值，那么對(duì)應(yīng)的直線又多了4條，
因此這種情況下，對(duì)應(yīng)的直線就有8條；
②對(duì)于y=

1

2

，z=-1，則對(duì)應(yīng)的直線有2條，分別是：
（

1

2

，1，0）-（0，

1

2

，1）
（1，

1

2

，0）-（

1

2

，0，1）
同理，如果互換y，z，則對(duì)應(yīng)的直線又多了2條，因此這種情況下，對(duì)應(yīng)的直線就有4條
綜合（2）的情況，X=

1

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線就有8+4=12條；
（3）當(dāng)x=1時(shí)，要滿足a⊥b，則1+y+z=0≥y+z=-1，
此時(shí)y，z的取值可以是y=0，z=-1，或y=-1，z=0，或y=-

1

2

，z=-

1

2

，
①對(duì)于y=0，z=-1 則對(duì)應(yīng)的直線有3條，分別是：
（1，0，0）-（0，0，1）
（1，

1

2

，0）-（0，

1

2

，1）
（1，1，0）-（0，1，1）
②對(duì)于y=-1，z=0 情況和①類似，只是交換了y，z的取值而已，因此對(duì)應(yīng)直線也是3條．
③對(duì)于y=z=-

1

2

，則對(duì)應(yīng)的直線有2條，分別是
（1，

1

2

，0）-（0，1，

1

2

）
（1，0，

1

2

）-（0，

1

2

，1）
綜合（3）的情況，x=1時(shí)對(duì)應(yīng)的直線一共有3+3+2=8條．
于是綜合（1），（2），（3）和BD₁垂直的直線就有7+12+8=27條．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，結(jié)合各棱長(zhǎng)的中點(diǎn)和8個(gè)頂點(diǎn)的20個(gè)點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)構(gòu)成的直線中與直線BD₁垂直的條數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和向量法的合理運(yùn)用．