Question

定義函數(shù)fk(x)=

alnx

xk

為f（x）的k階函數(shù)．
（1）求一階函數(shù)f₁（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時，討論方程f₂（x）=1的解的個數(shù)；
（3）求證：3lnx≤x³e^x-1．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：

分析：（1）令k=1，寫出f₁（x）的表達式，再求導(dǎo)，分成a＞0，a＞0，a=0三種情況討論，注意到函數(shù)的定義域．
（2）由f₂（x）=1，得

lnx

x2

=

1

a

，使問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)y=

lnx

x2

和y=

1

a

的交點個數(shù)．考慮函數(shù)g(x)=

lnx

x2

(x＞0)，利用求導(dǎo)的方法對其單調(diào)性進行研究，同時注意到著g（x）的取值，數(shù)形結(jié)合求解．
（3）取a=1，k=3時的情況，即f3(x)=

lnx

x3

(x＞0)，利用求導(dǎo)的方法研究其范圍，得到不等式3lnx≤

x3

e

，再結(jié)合著e^x＞1，即證得不等式成立．

解答： 解：（1）f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，f′1(x)=

a-alnx

x2

=

a(1-lnx)

x2

(x＞0)
當(dāng)a=0時，f′₁（x）=0，f₁（x）無單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)a≠0時，令f′₁（x）=0，解得x=e．
當(dāng)a＞0時，f₁（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e），單減區(qū)間為（e，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f₁（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），單減區(qū)間為（0，e）．
（2）由

alnx

x2

=1得：

lnx

x2

=

1

a

．
令g(x)=

lnx

x2

(x＞0)．則g′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

．由g′（x）=0得x=

e

，
從而g（x）在(0，

e

)單調(diào)遞增，在(

e

，+∞)單調(diào)遞減.g(x)max=g(

e

)=

1

2e

．
當(dāng)x→0時，g（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時，g（x）→0．
∴當(dāng)0＜

1

a

＜

1

2e

，即a＞2e時，方程有兩個不同解．
當(dāng)

1

a

＞

1

2e

，即0＜a＜2e時，方程有0個解．
當(dāng)

1

a

=

1

2e

，或即a=2e時，方程有唯一解．
綜上，當(dāng)a＞2e時，方程有兩個不同解．當(dāng)0＜a＜2e時，方程有0個解．當(dāng)a=2e，方程有唯一解．
（3）特別地，當(dāng)a=1時，由f3(x)=

lnx

x3

(x＞0)得：f′3(x)=

x2-3x2lnx

x6

=

1-3lnx

x4

，
由f′₃（x）=0得x=e

1

3

，
則f₃（x）在(0，e

1

3

)單調(diào)遞增，在(e

1

3

，+∞)單調(diào)遞減.f3(x)max=f3(e

1

3

)=

1

3e

．
∴f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即3lnx≤

x3

e

．又x＞0時，e^x＞1．
∴3lnx≤x³e^x-1．

點評：導(dǎo)數(shù)是高考中常考內(nèi)容，常見的形式有選擇題，填空題和解答題，特別是解答題，往往都有一定的難度，需要學(xué)生考前多練習(xí)，多研究，如第三問中，要觀察所證等式的特征，尋找相應(yīng)的參數(shù)值，從而代入計算