Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求范圍；

（Ⅱ）方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，從而求出k的范圍即可；（2）lnx+x=0時(shí)，不合題意，當(dāng)lnx+x≠0時(shí)，m= 有唯一解，此時(shí)x＞x0，記h（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的值即可．

解析：

（1）a=2時(shí)，f（x）=lnx﹣x2+x，

f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=﹣2x+1，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

故f（x）max=f（1）=0，

若f（x）≤k恒成立，

則k≥0；

（2）方程mf（x）=（1﹣）x2有唯一實(shí)數(shù)解，

即m（lnx+x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，

當(dāng)lnx+x=0時(shí)，顯然不成立，設(shè)lnx+x=0的根為x0∈（，1）

當(dāng)lnx+x≠0時(shí)，m=有唯一解，此時(shí)x＞x0

記h（x）=，

h′（x）=,

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x（x﹣1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x（x﹣1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，

∴h（x）在（x0，1）上遞減，（1，+∞）上遞增．

∴h（x）min=h（1）=1，

當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，h（x）∈（1，+∞），

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）∈（1，+∞），

要使m=有唯一解，應(yīng)有m=h（1）=1，

∴m=1．