Question

6．中國高鐵的某個通訊器材中配置有9個相同的元件，各自獨立工作，每個元件正常工作的概率為p（0＜p＜1），若通訊器械中有超過一半的元件正常工作，則通訊器械正常工作，通訊器械正常工作的概率為通訊器械的有效率
（Ⅰ）設(shè)通訊器械上正常工作的元件個數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望，并求該通訊器械正常工作的概率P′（列代數(shù)式表示）
（Ⅱ）現(xiàn)為改善通訊器械的性能，擬增加2個元件，試分析這樣操作能否提高通訊器械的有效率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先由二項分布及其期望公式求得期望，然后利用獨立重復(fù)試驗求得通訊器械正常工作的概率P′；
（Ⅱ）利用互斥事件的概率加法公式及獨立重復(fù)試驗的概率公式求得增加2個元件后通訊器械正常工作的概率，作差后得到關(guān)于p的代數(shù)式，然后分p的不同范圍得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：X～B（9，p），故EX=9p．
在通訊器械配置的9個元件中，恰有5個元件正常工作的概率為：${C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$．
在通訊器械配置的9個元件中，恰有6個元件正常工作的概率為：${C}_{9}^{6}•{p}^{6}•（1-p）^{3}$．
在通訊器械配置的9個元件中，恰有7個元件正常工作的概率為：${C}_{9}^{7}•{p}^{7}•（1-p）^{2}$．
在通訊器械配置的9個元件中，恰有8個元件正常工作的概率為：${C}_{9}^{8}•{p}^{8}•（1-p）^{1}$．
在通訊器械配置的9個元件中，恰有9個元件正常工作的概率為：${C}_{9}^{9}•{p}^{9}•（1-p）^{0}$．
通訊器械正常工作的概率P′=$\sum_{k=5}^{9}{C}_{9}^{k}•{p}^{k}•（1-p）^{9-k}$；
（Ⅱ）當(dāng)電路板上有11個元件時，考慮前9個元件，
為使通訊器械正常工作，前9個元件中至少有4個元件正常工作．
①若前9個元素有4個正常工作，則它的概率為：${C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}$．
此時后兩個元件都必須正常工作，它的概率為：$[{C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}]•$p²；
②若前9個元素有5個正常工作，則它的概率為：${C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}$．
此時后兩個元件至少有一個正常工作，它的概率為：$[{C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}]•[1-（1-p）^{2}]$；
③若前9個元素至少有6個正常工作，則它的概率為：${P}^{′}-{C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$；
此時通訊器械正常工作，故它的概率為：
P^″=$[{C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}]•$p²+$[{C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}]•[1-（1-p）^{2}]$+${P}^{′}-{C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$，
可得P″-P′=$[{C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}]•$p²+$[{C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}]•[1-（1-p）^{2}]$-${C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$，
=${p}^{5}（1-p）^{4}•{C}_{9}^{5}[p（1-p）+1-（1-p）^{2}-1]$=${p}^{5}（1-p）^{4}•{C}_{9}^{5}（2p-1）$．
故當(dāng)p=$\frac{1}{2}$時，P″=P′，即增加2個元件，不改變通訊器械的有效率；
當(dāng)0＜p$＜\frac{1}{2}$時，P″＜P′，即增加2個元件，通訊器械的有效率降低；
當(dāng)p$＞\frac{1}{2}$時，P″＞P′，即增加2個元件，通訊器械的有效率提高．

點評 本題考查二項分布，考查了相互獨立事件及其概率，關(guān)鍵是對題意的理解，屬概率統(tǒng)計部分難度較大的題目．