Question

在直角坐標系xoy中，設傾斜角為α的直線l：

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

（t為參數(shù)）與曲線 C：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）相交于不同兩點A，B．
（1）若α=

π

3

，求線段AB中點M的坐標；
（2）若|PA|•|PB|=|OP|²，其中P(2，

3

)，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）把直線和圓的參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)的關系求出兩交點中點的橫坐標，待入直線方程再求中點的縱坐標；
（2）把直線方程和圓的方程聯(lián)立，化為關于t的一元二次方程，運用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，結(jié)合給出的等式求解直線的傾斜角的正切值，則斜率可求，

解答：解：（1）當α=

π

3

時，由

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

，得

x=2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

，所以直線方程為y=

3

x-

3

，
由

x=2cosθ y=sinθ

，得曲線C的普通方程為

x2

4

+y2=1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）再由

y= 3 x- 3 x2 4 +y2=1

，得：13x²-24x+8=0，
所以

x1+x2

2

=

12

13

，

y1+y2

2

=

3 (x1+x2)

2

-

3

=-

3

13

，所以M的坐標為(

12

13

，-

3

13

)
（2）把直線的參數(shù)方程代入

x2

4

+y2=1，得：(1+3sin2α)t2+(8

3

sinα+4cosα)t+12=0，
所以t1t2=

12

(1+3sin2α)

，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|OP|²=7，得：

12

1+3sin2α

=7，所以sin2α=

5

21

，cos2α=

16

21

，
所以tan2α=

5

16

，所以tanα=

5

4

．
所以直線L的斜率為

5

4

．

點評：本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了直線的斜率、直線與橢圓的位置關系，解答此題（2）的關鍵是靈活運用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是中檔題．