在直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)傾斜角為α的直線l：
x=2+tcosα
y=
3
+tsinα
（t為參數(shù)）與曲線 C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）相交于不同兩點A，B．
（1）若α=
π
3
，求線段AB中點M的坐標(biāo)；
（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中P(2，
3
)，求直線l的斜率．
分析：（1）把直線和圓的參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩交點中點的橫坐標(biāo)，待入直線方程再求中點的縱坐標(biāo)；
（2）把直線方程和圓的方程聯(lián)立，化為關(guān)于t的一元二次方程，運用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，結(jié)合給出的等式求解直線的傾斜角的正切值，則斜率可求，
解答：解：（1）當(dāng)α=
π
3
時，由
x=2+tcosα
y=
3
+tsinα
，得
x=2+
1
2
t
y=
3
+
3
2
t
，所以直線方程為y=
3
x-
3
，
由
x=2cosθ
y=sinθ
，得曲線C的普通方程為
x2
4
+y2=1，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）再由
y=
3
x-
3
x2
4
+y2=1
，得：13x2-24x+8=0，
所以
x1+x2
2
=
12
13
，
y1+y2
2
=
3
(x1+x2)
2
-
3
=-
3
13
，所以M的坐標(biāo)為(
12
13
，-
3
13
)
（2）把直線的參數(shù)方程代入
x2
4
+y2=1，得：(1+3sin2α)t2+(8
3
sinα+4cosα)t+12=0，
所以t1t2=
12
(1+3sin2α)
，由|PA|•|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：
12
1+3sin2α
=7，所以sin2α=
5
21
，cos2α=
16
21
，
所以tan2α=
5
16
，所以tanα=
5
4
．
所以直線L的斜率為
5
4
．
點評：本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系，解答此題（2）的關(guān)鍵是靈活運用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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